Probabilité conditionnelle

Dans cet article, je discuterai des événements dépendants, des événements indépendants, de la formule de probabilité conditionnelle et de quelques exemples.

Événements dépendants

Commençons par un exemple. Supposons que nous ayons un seau rempli de 8 balles. 5 d’entre eux sont verts et 3 sont bleus.

Laissez, nous ramassons au hasard deux balles une par une sans remplacement . Définissons deux événements:

R: La première balle est verte

B: la deuxième balle est bleue

Maintenant, la probabilité d’obtenir une balle verte au premier pas = P (A) = 5/8. Parce que nous avons 8 cas possibles et il y a 5 façons d’obtenir une balle verte. Donc, P (A) = 5/8

Pour la deuxième balle, il reste 7 balles dans le seau. Donc, il peut y avoir 7 cas possibles. Mais nous ne savons pas combien de balles bleues il reste. Si la première balle était verte, il reste 3 balles bleues dans le seau. Ainsi, la probabilité d’obtenir une balle bleue est de 3/7 . Mais si la première balle était bleue, alors il reste 2 balles bleues dans le seau. Ensuite, la probabilité d’obtenir une balle bleue est de 2/7, car il y a maintenant 2 façons possibles d’obtenir une balle bleue. Donc,

P (la deuxième balle est bleue étant donné que la première balle était verte) = 3/7

P (la deuxième balle est bleue étant donné que la première balle était bleue) = 2/7

Ou, on peut dire ça,

P (B étant donné que A s’est produit) = 3/7

P (B étant donné que A ne s’est pas produit) = 2/7

Science la probabilité de l’événement B dépend de l’occurrence de l’événement A , nous disons que l’événement B dépend de l’événement A. Et la probabilité de l’événement B étant donné que A s’est produit est appelé la probabilité conditionnelle de B étant donné que A s’est produit , et nous le désignons par P (B | A) . Donc,

P (B étant donné que A s’est produit) = P (B | A)

P (B étant donné que A ne s’est pas produit) = P (B | Aᶜ)

Événements indépendants

Pensons maintenant à un autre exemple, nous avons le même seau que dans l’exemple précédent, et nous avons également le même nombre de boules bleues et vertes. Dans ce cas, nous ramasserons au hasard deux balles une par une avec des remplacements . Comme l’exemple précédent, nous définissons deux événements:

R: La première balle est verte

B: la deuxième balle est bleue

Pour la première balle, P (A) = 5/8

Pour le deuxième cas, comme nous avons remplacé la première balle, le nombre total de balles reste inchangé. Donc, il y a 8 cas possibles. Si la première balle est bleue ou verte, lorsque la balle est replacée, le nombre total de balles bleues reste inchangé dans les deux cas. Donc, dans les deux cas, la probabilité d’obtenir une balle bleue dans la deuxième étape est de 3/8

P (B étant donné que A s’est produit) = 3/8

P (B étant donné que A ne s’est pas produit) = 3/8

Contrairement à l’exemple précédent, la probabilité de l’événement B dépend de l’occurrence de l’événement A. Dans ce cas, nous disons que l ‘ événement B ne dépend pas de l’événement A . Ainsi, A et B sont des événements indépendants.

Dans ce cas,

P (B | A) = P (B | Aᶜ) = P (B) = 3/8

Formule de probabilité conditionnelle

Maintenant, pour le premier exemple, où nous avons ramassé des balles sans remplacement, nous voulons calculer la probabilité de se produire à la fois A et B ensemble, c’est-à-dire P (la première balle est verte et la deuxième balle est bleue) = P ( A∩B). D’après la règle de multiplication, dans la première étape, la probabilité d’obtenir une boule verte = 5/8. Comme la première balle est verte, la probabilité d’obtenir une balle bleue dans la deuxième étape est de 3/7.

Donc, d’après la règle de multiplication,

P (A∩B) = (5/8) * (3/7)

ou, P (A∩B) = P (A) * P (B | A)

Donc, P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

Voici la formule de la probabilité conditionnelle.

Pour le deuxième exemple, où nous avons ramassé des balles avec remplacement,

P (B | A) = P (B)

Donc, P (A∩B) = P (A) * P (B | A) = P (A) * P (B)

Donc, pour les événements indépendants, P (A∩B) = P (A) * P (B)

Voyons un autre exemple. Laissez, nous avons 1000 balles. 400 d’entre eux sont de l’usine A et 600 d’entre eux sont de l’usine B. 100 des balles de la première usine sont vertes et les 300 autres sont jaunes. De la deuxième usine, nous avons 350 balles vertes et 250 balles jaunes (total 600 balles).

Maintenant, nous allons ramasser une balle au hasard. Nous définissons les événements suivants:

A: Le ballon provient de l’usine A

B: le ballon provient de l’usine B

G: la balle est verte

Y: la balle est jaune

P (A) = 400/1000 [Comme il y a 1000 cas possibles & amp; 400 balles de l’usine A]

P (B) = 600/1000 [Comme il y a 1000 cas possibles & amp; 600 balles de l’usine B]

P (G) = 450/1000 [Comme il y a 1000 cas possibles & amp; 450 boules vertes]

P (Y) = 550/1000 [Comme il y a 1000 cas possibles & amp; 550 boules vertes]

Nous allons maintenant calculer les probabilités conditionnelles P (A | G), P (G | A), P (A | Y), P (Y | A).

Si nous ramassons une balle et que nous voyons que la balle est verte, alors l’événement G a déjà eu lieu. Maintenant, si nous voulons trouver la probabilité de la balle depuis l’usine A , il y a 450 cas possibles. Car, on sait déjà que la balle est verte. Ainsi, la balle peut être l’une des 450 balles vertes. Comme il y a 100 balles vertes de l’usine A , il existe 100 façons d’obtenir une balle de l’usine A . Donc,

P ( la balle provient de l’usine A étant donné que la balle est verte ) = 100/450

ou, P (A | G) = 100/450

De même, P (A | Y) = 300/550. Parce qu’il y a 550 boules jaunes et 300 d’entre elles proviennent de l’usine A.

Maintenant, si nous ramassons une balle et que nous savons d’une manière ou d’une autre que la balle provient de l’usine A, quelle est la probabilité que la balle soit verte? c’est-à-dire P ( la balle est verte étant donné que la balle vient de l’usine A ). Maintenant, il y a 400 balles de l’usine A et 100 d’entre elles sont vertes. Donc, il y a 400 résultats possibles et 100 façons d’obtenir une balle verte. Donc,

P ( la balle est verte étant donné que la balle est de l’usine A ) = 100/400

Ou, P (G | A) = 100/400.

De même, P (Y | A) = 300/400

Maintenant, nous voulons calculer la probabilité que la balle soit à la fois verte et à partir de l’usine A. C’est-à-dire P (G∩A). Il y a 1000 résultats possibles et il y a 100 balles qui sont à la fois vertes et de l’usine A. Donc,

P (G∩A) = 100/1000.

Auparavant, nous avons appris une formule pour la probabilité conditionnelle. Selon la formule,

P (G∩A) = P (G) * P (A | G)

ou, P (G∩A) = (450/1000) * (100/1000) = 100/1000

Ce résultat correspond au résultat précédent. Selon la formule, il est également valide d’écrire comme,

P (G∩A) = P (A) * P (G | A)

ou, P (G∩A) = (400/1000) * (100/400) = 100/1000

Cela correspond également aux résultats précédents. Donc,

P (G∩A) = P (G) * P (A | G) = P (A) * P (G | A)

De même, vous pouvez calculer P (Y∩A) et vérifier les résultats.