Les belles mathématiques derrière un arc-en-ciel

Avez-vous déjà vu un arc-en-ciel? Jusqu’à récemment, j’avais regardé de nombreux arcs-en-ciel, mais je n’avais jamais vraiment vu d’arc-en-ciel.

Dans ses écrits sur la foi et la logique, le savant religieux Bediuzzaman Said Nursi a soutenu que regarder et voir sont deux choses différentes. Dans son livre, Words, dit-il; «L’œil est une fenêtre à travers laquelle l’esprit regarde ce monde. Si vous l’utilisez au nom de votre âme charnelle, sans la vendre à Dieu Tout-Puissant, en regardant des beautés et des spectacles éphémères et impermanents, il se plie à la luxure et à d’autres désirs charnels. “

En utilisant le raisonnement de Nursi, vous pouvez regarder un magicien qui est juste en face de vous, par exemple, mais ne jamais voir comment un tour est accompli. La même chose se produit lorsque vous regardez une équation mathématique, mais que vous ne voyez pas quelle est la valeur x (sauf si vous êtes bon en mathématiques).

Après avoir regardé la conférence du professeur de physique du MIT Walter Lewin sur un arc-en-ciel, je suis enfin capable de voir l’arc-en-ciel , au lieu de simplement le regarder. Pour partager ma fascination sur ce sujet et renforcer mes propres connaissances, voici quelques notes que j’ai prises lors de la conférence de Lewin.

Walter Lewin est l’auteur de «Pour l’amour de la physique». Ce livre est vraiment un livre parfait pour aimer la physique. Vous pouvez l’acheter ici.

Il y a quatre facettes fondamentales que nous devons couvrir pour bien comprendre un arc-en-ciel.

Le premier est le «rayon» d’un arc-en-ciel. Puisque chaque arc-en-ciel a un rayon, cela signifie qu’un arc-en-ciel est un cercle. Et chaque cercle a un point central. Le point central d’un arc-en-ciel se trouve sous l’horizon. Ici, nous pouvons poser ces questions:

1.1 Comment pouvons-nous trouver le rayon d’un arc-en-ciel en degrés?

1.2 Tous les arcs-en-ciel ont-ils le même rayon?

La deuxième question concerne les couleurs d’un arc-en-ciel, en particulier le rouge. Si vous voyez un arc-en-ciel, il y a toujours une couleur rouge. Mais:

2.1 La couleur rouge est-elle toujours à l’intérieur ou à l’extérieur de l’arc-en-ciel?

2.2 La position de la couleur rouge dépend-elle de l’heure du jour et de l’année?

Il est évident que la lumière détermine un arc-en-ciel. S’il y a un arc-en-ciel quelque part, il y a une énorme différence dans la luminosité du ciel au-dessus et au-dessous d’un arc-en-ciel. Nous pouvons maintenant demander:

3.1 Où est-il brillant?

3.2 Où fait-il noir?

Il y a quelques questions supplémentaires dont nous devons discuter concernant le deuxième arc, en particulier:

4 Avez-vous déjà remarqué le deuxième arc? Si oui, alors;

5 Où cherchez-vous le deuxième arc?

6.1 Quelle est la séquence de couleurs du deuxième arc?

6.2 Est-ce le même que l’arc primaire, est-il le plus brillant ou est-il inversé?

Afin de mieux comprendre les arcs-en-ciel, nous devons revoir quelques notions de physique de base. Commençons par la réflexion et la réfraction.

Médiums, Réflexion, & amp; Réfraction

Définition: Un support est la substance qui transporte une onde d’un endroit à un autre.

Lorsque la lumière passe d’un milieu à un autre, comme de l’air à l’eau, l’une des deux choses suivantes se produit:

Chaque milieu a un indice de réfraction, qui nous indique quelle est la vitesse de la lumière dans ce milieu. L’indice de réfraction de l’air est de 1.0003 et l’indice de réfraction du vide est de 1.

Cela signifie que la vitesse de la lumière dans l’air et dans le vide est presque la même. Cette vitesse est de 300 000 kilomètres par seconde et c’est pourquoi l’indice de réfraction de l’air et du vide est de 1. Mais dans l’eau, l’indice de réfraction est d’environ 1,33. La différence entre 1 et 1,33 signifie que dans l’eau, la vitesse de la lumière est 33% plus lente que dans l’air.

La loi de Snell et un angle d’incidence

Il existe également un lien entre l’angle de réflexion, l’angle de réfraction et l’indice de réfraction. Nous l’appelons la loi de Snell.

La loi de Snell illustrée:

Pour comprendre cette formule, vous devez connaître la définition du sinus d’un angle.

Définition: Le sinus est une fonction trigonométrique d’un angle. On le trouve en prenant la longueur du côté opposé à l’angle et en divisant par la longueur du côté le plus long du triangle.

Si α vaut 0 °, alors sin ( α ) = 0.

Si α vaut 30 °, alors sin ( α) = 0,5.

Si α est 90 °, alors le péché ( α ) = 1

Prenons un exemple où nous pouvons appliquer la loi de Snell.

La lumière vient de l’air vers l’eau à un angle de 60 °. (C’est possible, car l’angle auquel l’eau entre, l’angle β , sera de 40,6 °.)

Définition: L’angle d’incidence est l’angle entre la lumière entrante et la verticale sur la surface.

Comme l’a dit le professeur Lewin, “très simple, très simple.”


La figure ci-dessus montre une véritable merveille de l’eau. La lumière du soleil vient du côté gauche, atterrissant partout sur la moitié de la surface de cette goutte de pluie. Nous pouvons choisir un faisceau très étroit de toute cette lumière solaire avec un angle d’incidence de 60 °. Nous appelons l’angle d’incidence “ i et l’angle de réfraction r .”

Bien sûr, ce faisceau étroit est la seule petite fraction du total.

Au point A, deux choses se produisent (conformément à la loi de Snell);

La lumière atteint le point B à l’intérieur de la goutte d’eau. Au point B, deux choses se produisent:

Ensuite, la lumière réfléchie se dirige vers le point C. Ici, un peu de lumière est réfléchie et retourne dans l’eau. La plus grande partie sort de l’eau, ce qui entraîne une réfraction.

À ce stade, si nous utilisons la loi de Snell au point A, la loi de réflexion au point B , puis la loi de Snell au point C à nouveau, nous verrons que notre angle de réfraction au point C sera, étonnamment, “ i “.

Maintenant, si nous vérifions la ligne qui sort de l’eau au point C, nous aurons un angle changeant. Nous pouvons l’appeler φ (Phi) . Et pour l’angle φ , nous avons une formule algébrique, comme suit:

φ = 4r – 2i

Si vous vérifiez le chiffre, vous verrez que nous en avons 4 r et 2 i .

Au fait, si on prend le faisceau étroit qui passe par le centre de la goutte de pluie, on voit facilement que l’angle d’incidence est nul. Conformément à la loi de Snell, ce faisceau étroit passe tout droit. Ensuite, il se reflète et finalement il sort de l’eau . C’est vrai parce que:

si i = 0, puis r = 0 et donc φ = 0.

Faisons quelque chose d’intéressant et modifions la valeur de “ i “. Si la lumière touche l’eau descendez plus haut, l’angle “ i augmente. À un moment donné, l’angle φ

aussi

augmente et atteint une valeur maximale.

Si vous vous souvenez bien, l’indice de réfraction de l’eau est de 1,336. Si nous prenons une valeur de “ i sur la table et appliquons la loi de Snell, nous pouvons calculer facilement les valeurs de r. Et puis, si nous utilisons la formule φ = 4r – 2i , nous pouvons trouver les valeurs de φ . Ceci est illustré dans la figure 7.0.

Si cela ne semble pas si spécial, il y a autre chose auquel vous ne vous attendez pas: φ atteint une valeur maximale, et lorsque vous passez à des valeurs plus élevées de i , puis φ redescend. Cela joue un rôle clé dans la formation d’un arc-en-ciel.

L’indice de réfraction dépend de la couleur de la lumière.

Comme on le voit sur le tableau, lorsque l’angle d’incidence de la lumière rouge est très proche de 60 °, la valeur de φ est à son maximum, qui est de 42,3 °. En d’autres termes, la valeur de φ peut être inférieure à 42,3 °, mais elle ne peut pas être supérieure. Pour la lumière bleue, l’angle d’incidence est légèrement inférieur et le φ maximum est à 40,7 °.

Goutte d’eau & amp; Un cône

<↓ Une question clé se pose: Disons que nous avons une goutte d’eau, et que la lumière du soleil tombant sur cette goutte d’eau vient de la gauche. Qu’est-ce qu’une goutte d’eau va faire avec la lumière blanche du soleil qui couvre la moitié de l’arc-en-ciel?

Vérifions d’abord la lumière rouge, puis la lumière bleue.

Des faisceaux lumineux sortiront de cette goutte et ce cône sera rempli de lumière rouge. Mais l’angle des faisceaux lumineux ne peut pas être supérieur à 42 °, ce qui signifie qu’ils peuvent être plus petits. Ensuite, nous verrons un cône de lumières.

Mais pourquoi est-ce un cône? Parce que, si nous revenons à ce qui a été discuté précédemment, nous nous souviendrons qu’un faisceau lumineux entre avec un angle i, puis sort avec un angle i .

La figure 9.0 montre une représentation d’une goutte d’eau. La lumière qui entre à l’angle d’incidence est de 60 °. Il se réfracte et se réfléchit à l’intérieur de la gouttelette, puis passe au point C et sort de la gouttelette sous un angle de 42 °. Et, étonnamment, si l’angle d’incidence est de 60 °, lorsque le faisceau lumineux sort, il doit s’agir de lumière rouge. En revanche, il n’y a pas qu’un seul faisceau lumineux avec un angle de 60 °. Toute la surface de cette goutte d’eau est éclairée par le soleil, il y a donc un nombre énorme de faisceaux pour lesquels l’angle d’incidence est de 60 °.

Si nous revenons à la figure 9.0, nous voyons la ligne noire sur cette goutte d’eau. Tout faisceau lumineux qui entre n’importe où sur cette ligne noire aura un angle d’incidence de 60 °.

Nous allons maintenant faire de même pour la lumière bleue. Cette fois, nous aurons un autre cône qui est complètement rempli de lumière bleue, mais lorsque les faisceaux de lumière bleue sortiront, l’angle sera au maximum de 40,7 °.

<↑ Fait intéressant: Toutes les couleurs à l’exception du rouge et du bleu qui sont au soleil seront entre le rouge et le bleu.

Un voyage: réfraction, réflexion et réfraction

Nous savons que lorsque la lumière entre, elle traverse un voyage. Un faisceau lumineux se réfracte, puis se réfléchit, puis se réfracte. C’est tout. Mais qu’en est-il de la lumière sur le côté droit du cône? Y a-t-il de la lumière? Quand le soleil brille, cette goutte d’eau y apporte-t-elle de la lumière?

Si l’angle φ est supérieur à 42 °, alors oui, c’est possible. Mais nous avons déjà prouvé que l’angle φ ne peut pas être supérieur à 42 °. C’est donc impossible: il n’y a pas de lumière à l’extérieur du cône.

Autre question… Quelle sera la couleur de la lumière à l’intérieur du cône bleu? Il faut se rappeler que la lumière rouge est partout dans ce cône, car tant que l’angle φ est inférieur à 42 °, la lumière rouge peut être n’importe où. La lumière bleue est également presque partout car la lumière bleue est autorisée à être inférieure à 40 °. Cela signifie que toutes les couleurs que nous avons oubliées sortent à l’intérieur du cône bleu et qu’il y aura juste de la lumière blanche.

Pour résumer, si nous avons une goutte d’eau et une lumière brillante sur cette goutte d’eau, nous verrons du rouge, du bleu, du vert, du blanc et d’autres couleurs à l’intérieur du cône ou du cercle. En d’autres termes, toutes les couleurs d’un arc-en-ciel. Et bien sûr, il n’y aura pas de lumière à l’extérieur du cône. Vous pouvez regarder certaines expériences sur YouTube si vous le souhaitez.

Vous pouvez penser qu’à l’endroit où le bleu sort, si toutes les autres couleurs peuvent sortir – ce qui est possible parce que l’angle est inférieur à 40 ° – la lumière doit être également blanche, pas bleue. C’est une bonne approche, mais mal.

C’est faux, à cause de l’intensité lumineuse. Si vous vérifiez le graphique pour l’intensité de la lumière, vous verrez que différentes couleurs ont des points de crête où φ atteint la valeur maximale. Si toutes les couleurs sont présentes et d’intensité égale, on voit une lumière blanche. C’est pourquoi l’intérieur du cône est blanc. Cependant, lorsque la couleur rouge augmente, elle domine son emplacement. Nous ne remarquons même pas les autres couleurs.

Regarder le ciel

Disons que vous vous trouvez au point A et que la lumière du soleil vient de la gauche. Puisque la lumière vient d’infiniment très loin, toutes ces lignes sont parallèles les unes aux autres. Supposons que vous regardiez le ciel dans la direction B et que vous choisissiez une goutte de pluie à tout moment. Tout point que vous choisissez lancera le cône dans la direction du soleil avec un angle de 60 °.

Quand vous regardez le ciel dans la direction B, voyez-vous la lumière? Vous ne le ferez pas, car vous êtes en dehors du 42 °.

Et si vous regardez dans une direction différente? Nous allons regarder le point C (peu importe où), et prendre une goutte de pluie sur la ligne C. Les faisceaux lumineux feront la même chose. Encore une fois, ils produiront un cône rouge à 42 °. Cependant, vous verrez une lumière blanche. Oui, vous avez bien lu, la lumière blanche, parce que vous regardez droit au milieu à la lumière blanche.

Disons que nous choisissons un autre angle et regardons le point D. Si nous choisissons une goutte de pluie n’importe où sur la ligne D, cela ne fera aucune différence. Il projettera dans le ciel le fameux angle de 42 ° car c’est l’angle qui y a été choisi. Si nous regardons dans cette direction du ciel, que verrons-nous? Oui, seulement du rouge. Aucune autre couleur!

Et maintenant, nous savons où nous verrons la lumière rouge, la lumière bleue ou la lumière blanche. Et nous savons également quelle direction n’a pas de lumière.

Un arc-en-ciel est un arc dans le ciel

Supposons que le soleil soit sur votre gauche et que vous vous trouviez au point A (Figure 15.0). Puisqu’il y a de la lumière, vous aurez une ombre sur le sol. Tant que vous regardez à 42 ° de n’importe quelle direction, vous ne verrez que du rouge.C’est parce qu’un cône est un objet sphérique. Et cela explique pourquoi l’arc-en-ciel est un bol dans le ciel. Tant qu’il est à 42 ° d’une ligne dans n’importe quelle direction, vous verrez toujours une lumière rouge. Et si vous diminuez l’angle, vous verrez les autres couleurs dans le ciel.

Et maintenant, nous pouvons faire une image d’un arc-en-ciel.

Quand on regarde l’horizon, on voit parfois un arc-en-ciel. Et nous aurons un point central quelque part sous l’horizon. Le rayon à 42 ° a une lumière rouge. La lumière bleue est plus proche du rayon de 40 °. Cela nous indique que le bol rouge est toujours à l’extérieur et la lumière bleue est toujours à l’intérieur. C’est ce que nous voyons toujours.

Double réflexion dans l’arc-en-ciel

Nous pouvons également inclure deux reflets dans l’arc-en-ciel. Si nous le faisons, nous obtenons une réfraction, une réflexion, une autre réflexion, puis une autre réfraction. Ainsi, les faisceaux lumineux réfléchissent deux fois. Et si nous faisons ce hocus-pocus encore et encore, nous pouvons arriver à une conclusion: il n’y a pas de valeur maximale pour les différentes couleurs, mais il y a une valeur minimale. En d’autres termes, différentes couleurs ne peuvent pas être inférieures à une certaine valeur, mais elles peuvent être plus élevées.

Et si nous faisons un calcul pour les angles, nous verrons quelque chose de très similaire. Nous découvrirons que le deuxième arc est pointé vers le ciel, et l’angle est de 10 ° au-dessus du premier (qui est de 52 °). Et, étonnamment, les couleurs du deuxième bol inversé. En d’autres termes, le rouge est celui à l’intérieur, et le bleu est à l’extérieur cette fois.

Fait intéressant: Il n’y a pas de lumière entre les deux bols. Cela est dû au maximum et au minimum φ . Nous appelons cette partie sombre la bande sombre d’Alexandre. De plus, comme le deuxième bol est formé par φ minimum, la lumière du soleil peut sortir à un angle de φ ou plus et il y aura de la lumière du soleil au-dessus d’un arc-en-ciel.

Quelques exemples…


Lorsque vous arrosez votre jardin lorsque le soleil est haut dans le ciel, vous pouvez obtenir un arc-en-ciel tout autour de vous. 42 ° de la ligne est toujours rouge. Si vous vous retournez et regardez en arrière, il est rouge.

Si vous regardez attentivement les figures 5 et 6, l’arc primaire rouge est à l’extérieur et le bleu à l’intérieur. La bande sombre d’Alexandre peut être vue entre les deux arcs. Tu ne peux pas le rater. Il apparaît vraiment sombre. Pour l’arc secondaire, le rouge est à l’intérieur et le bleu à l’extérieur.


Sur la photo, on appelle un arc-en-ciel blanc. C’est très unique et rare. On l’appelle aussi un arc de brouillard, car le brouillard contient de petites gouttelettes d’eau qui créent cet effet.

Imaginons qu’il y ait un arc-en-ciel au coucher du soleil. Que vous attendriez-vous à voir? Nous ne verrions que la lumière rouge car il n’y a que la lumière rouge. Qu’arriverait-il à la lumière blanche à l’intérieur de l’arc? Ce serait rouge aussi.

J’espère que vous êtes maintenant en mesure de vraiment voir un arc-en-ciel quand vous le regardez.