De Ramanujan-sommatie: 1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12?

“Waar heb je het in vredesnaam over? Dat is niet waar! ” – Mijn moeder

Dit is wat mijn moeder tegen me zei toen ik haar vertelde over deze kleine wiskundige anomalie. En het is precies dat, een anomalie. Het tart tenslotte de basislogica. Hoe kan het toevoegen van positieve getallen niet alleen gelijk zijn aan een negatieve, maar ook aan een negatieve breuk? Wat is het probleem?

Voordat ik begin : er is mij op gewezen dat wanneer ik het in dit artikel over sommen heb, dit niet in de traditionele zin van het woord is. Dit komt doordat alle series waar ik mee te maken heb natuurlijk niet naar een specifiek nummer neigen, dus we praten over een ander soort sommen, namelijk Cesàro Summations. Voor iedereen die geïnteresseerd is in de wiskunde, kennen Cesàro-sommaties waarden toe aan enkele oneindige sommen die niet in de gebruikelijke zin convergeren. “De Cesàro-som wordt gedefinieerd als de limiet, aangezien n naar oneindig neigt, van de reeks rekenkundige gemiddelden van de eerste n gedeeltelijke sommen van de reeks” – Wikipedia. Ik wil ook zeggen dat ik in dit artikel het concept van telbare oneindigheid behandel, een ander type oneindigheid dat zich bezighoudt met een oneindige reeks getallen, maar een waarbij je, als je genoeg tijd krijgt, tot elk getal in de set kunt tellen. Het stelt me ​​in staat om enkele van de reguliere eigenschappen van de wiskunde zoals commutativiteit in mijn vergelijkingen te gebruiken (wat een axioma is dat ik in het hele artikel gebruik).

Voor degenen onder jullie die niet bekend zijn met deze serie, die bekend is geworden als de Ramanujan Summation naar een beroemde Indiase wiskundige genaamd Srinivasa Ramanujan, staat er dat als je alle natuurlijke getallen optelt, dat is 1, 2, 3, 4, enzovoort, helemaal tot in het oneindige, je zult zien dat het gelijk is aan -1/12. Yup, -0.08333333333.

Geloof je me niet? Blijf lezen om erachter te komen hoe ik dit bewijs, door twee even gekke beweringen te bewijzen:

Allereerst het brood en de boter. Dit is waar de echte magie plaatsvindt, in feite zijn de andere twee bewijzen niet mogelijk zonder dit.

Ik begin met een reeks, A, die gelijk is aan 1–1 + 1–1 + 1–1 oneindig vaak herhaald. Ik zal het als zodanig schrijven:

A = 1–1 + 1–1 + 1–1 ⋯

Dan doe ik een leuk trucje. Ik haal A weg van 1

1-A=1-(1–1+1–1+1–1⋯)

Tot zover goed? Hier is waar de tovenarij plaatsvindt. Als ik de rechterkant van de vergelijking vereenvoudig, krijg ik iets heel eigenaardigs:

1-A=1–1+1–1+1–1+1⋯

Komt u bekend voor? Voor het geval je het hebt gemist, dat is A . Ja, daar aan de rechterkant van de vergelijking, is de serie waarmee we begonnen. Dus ik kan A vervangen door die rechterkant, doe een beetje middelbare school algebra en boem!

1-A = A

1-A+A=A+A

1 = 2A

1/2 = A

Deze kleine schoonheid is de serie van Grandi, zo genoemd naar de Italiaanse wiskundige, filosoof en priester Guido Grandi. Dat is echt alles wat deze serie heeft, en hoewel het mijn persoonlijke favoriet is, zit hier geen coole geschiedenis of ontdekkingsverhaal achter. Maar , het opent de deur om veel interessante dingen te bewijzen, waaronder een zeer belangrijke vergelijking voor de kwantummechanica en zelfs de snaartheorie. Maar daarover later meer. Voorlopig gaan we verder met het bewijzen van # 2: 1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯ = 1/4 .

We beginnen op dezelfde manier als hierboven, waarbij we de reeks B = 1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯ laten. Dan kunnen we ermee gaan spelen. Deze keer, in plaats van B af te trekken van 1, gaan we het aftrekken van A . Wiskundig krijgen we dit:

A-B = (1–1 + 1–1 + 1–1 ⋯) – (1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯)

A-B = (1–1 + 1–1 + 1–1 ) – 1 + 2–3 + 4–5 + 6 ⋯

Vervolgens schudden we de termen een beetje door elkaar en zien we een ander interessant patroon naar voren komen.

AB = (1–1) + (–1 + 2) + (1–3) + (–1 + 4) + (1–5) + (–1 + 6)

A-B = 0 + 1–2 + 3–4 + 5 ⋯

Nogmaals, we krijgen de serie waarmee we zijn begonnen, en van vroeger weten we dat A = 1/2 , dus we gebruiken wat meer elementaire algebra en bewijzen ons tweede verbluffende feit van vandaag.

A-B = B

A = 2B

1/2 = 2B

1/4 = B

En voila! Deze vergelijking heeft geen mooie naam, omdat het door de jaren heen door veel wiskundigen is bewezen en tegelijkertijd als een paradoxale vergelijking wordt bestempeld. Desalniettemin veroorzaakte het destijds een debat onder academici en hielp het zelfs bij het uitbreiden van Eulers onderzoek naar het Bazelprobleem en leidde het tot belangrijke wiskundige functies zoals de Riemann Zeta-functie.

Nu de kers op de taart, degene waar je op hebt gewacht, de grote kaas. We beginnen opnieuw met de reeks C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ⋯, en je hebt het misschien kunnen raden, we gaan C van B .

B-C = (1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯) – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ⋯)

Omdat wiskunde nog steeds geweldig is, gaan we de volgorde van sommige getallen hier herschikken, zodat we iets krijgen dat er bekend uitziet, maar waarschijnlijk niet is wat je vermoedt.

B-C = (1-2 + 3-4 + 5-6 ⋯) -1-2-3-4-5-6 ⋯

BC = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6) ⋯

B-C = 0-4 + 0-8 + 0-12 ⋯

B-C = -4-8-12 ⋯

Niet wat je had verwacht, toch? Houd je sokken goed vast, want ik heb nog een laatste truc achter de hand die het allemaal de moeite waard zal maken. Als u opmerkt, zijn alle termen aan de rechterkant veelvouden van -4, dus we kunnen die constante factor eruit halen, en zie, we krijgen waar we mee begonnen zijn.

B-C = -4 (1 + 2 + 3) ⋯

B-C = -4C

B = -3C

En aangezien we een waarde hebben voor B = 1/4 , voegen we die waarde simpelweg toe en krijgen we ons magische resultaat:

1/4 = -3C

1 / -12 = C of C = -1/12

Waarom is dit belangrijk? Om te beginnen wordt het gebruikt in de snaartheorie. Helaas niet de Stephen Hawking-versie, maar eigenlijk in de originele versie van de snaartheorie (Bosonic String Theory genaamd). Helaas is de Bosonische snaartheorie enigszins achterhaald door het huidige interessegebied, de supersymmetrische snaartheorie genaamd, maar de oorspronkelijke theorie kan nog steeds worden gebruikt bij het begrijpen van supersnaren, die integrale onderdelen zijn van de eerder genoemde bijgewerkte snaartheorie.

De Ramanujan-sommatie heeft ook een grote impact gehad op het gebied van de algemene fysica, met name bij de oplossing van het fenomeen dat bekend staat als het Casimir-effect. Hendrik Casimir voorspelde dat, gegeven twee ongeladen geleidende platen die in een vacuüm zijn geplaatst, er een aantrekkingskracht tussen deze platen bestaat vanwege de aanwezigheid van virtuele deeltjesbrood door kwantumfluctuaties. In Casimirs oplossing gebruikt hij de som die we zojuist hebben bewezen om de hoeveelheid energie tussen de platen te modelleren. En er is een reden waarom deze waarde zo belangrijk is.

Dus daar heb je het, de Ramanujan-sommatie, die werd ontdekt in het begin van de 20e eeuw, die bijna 100 jaar later nog steeds een impact heeft in veel verschillende takken van de fysica, en nog steeds een weddenschap kan winnen tegen mensen die niet de wijzer.

P.S. Als je nog steeds geïnteresseerd bent en meer wilt lezen, is hier een gesprek met twee natuurkundigen die proberen deze gekke vergelijking uit te leggen en hun mening over het nut en de geldigheid ervan. Het is leuk en kort, en erg interessant. https://physicstoday.scitation.org/do/10.1063/PT.5.8029/full/

Dit essay maakt deel uit van een serie verhalen over wiskundige onderwerpen, gepubliceerd in Cantor’s Paradise, een wekelijkse Medium-publicatie. Bedankt voor het lezen!